【三角函数公式表】三角函数是数学中重要的基础知识，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式有助于提高解题效率和理解问题本质。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行整理，便于查阅和记忆。
一、基本三角函数定义
在直角三角形中，设一个锐角为θ，则有以下定义：
| 函数名称 | 定义式 |
| 正弦（sin） | 对边 / 斜边 |
| 余弦（cos） | 邻边 / 斜边 |
| 正切（tan） | 对边 / 邻边 |
| 余切（cot） | 邻边 / 对边 |
| 正割（sec） | 斜边 / 邻边 |
| 余割（csc） | 斜边 / 对边 |
二、同角三角函数关系
| 公式 | 表达式 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $ $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $ $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \tan(-\theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi - \theta) $ | $ -\tan\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \tan(\pi + \theta) $ | $ \tan\theta $ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦和差 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ |
| 余弦和差 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ |
| 正切和差 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ |
五、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦倍角 | $ \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ $ \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 $ $ \cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
六、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦半角 | $ \sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} $ $ \tan \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ |
七、积化和差与和差化积
| 公式 | 表达式 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ $ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ $ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} $ $ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} $ $ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} $ $ \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} $ |
总结
三角函数公式繁多，但通过系统归纳和分类整理，可以更清晰地掌握其内在逻辑与应用方法。建议结合具体题目进行练习，逐步提升对三角函数的理解和运用能力。
